1、匹诺曹悖论和匹诺曹本身没有关系，如果匹诺曹说“我生病了”，这句话是可以判定真伪的，但是匹诺曹说的是“我的鼻子马上会变长”，就无法判定真伪，我们无法得知匹诺曹的鼻子到底会不会变长。
2、「VeridicalParadox」，即证真式悖论，看似悖论，其实命题是真的。
3、「证真式悖论确令人意外，但一旦我们明白了如何论证，这种意外马上就烟消云散了。」
4、我只给那些“不给自己理发的人理发”，我与“不给自己理发的人”是一个客观存在的关系。我不可能与我自己发生关系，因为我作为我自己，不存在对象性的问题，否则，那我岂不成了两重身份，两个幻身，可以同时存在两个地方的神怪之物了嘛？
5、节约悖论是指在经济萧条时期所有人都把钱存进银行，社会总需求会下降，反过来全社会的消费水平下降、经济增速减缓，全社会的资产总数也就下滑。悖论认为个人资产增值的同时，全社会资产反而减少，或者再放开了说，储蓄额的增加在荼毒经济，因为传统认为个人储蓄有益社会，但是节约悖论认为大规模的储蓄会对经济造成伤害。如果所有人都把钱存进银行，账面上个人的资产会增值，但是全社会总体的宏观经济趋势会下降。(罗素悖论怎么读)。
6、我们需要通过断舍离，抛弃头脑中无谓的干扰，回归初心，找到影响我们成长的要素，将其排列成相互咬合的系统，然后开始行动。而行动的结果又会给出正面的反馈，每一次的输出都是下一次的输入，像是多米诺骨牌一样，力量越来越大，改变由此发生。
7、多米诺骨牌的关键是什么？是初始的小小推力吗？并不是。骨牌按照一定规则的排列才是。换而言之，骨牌形成的一个环环相扣的系统才是关键。
8、在这个寒假，我阅读了一本名叫《这才是好读的数学史》这本书叫这个名字确实是名副其实，他为人们介绍了最全面的数学史，以及名人与数学之前的故事，还有各国数学的起源到发展。
9、∞来自于拉丁文的“infinitas”。在神学、哲学、数学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。
10、1976年谢尔登·罗斯(SheldonRoss)在他的《概率论第一课》(AFirstCourseinProbability)介绍了这个问题，所以它被称为“罗斯·利特尔伍德悖论”(Ross-LittlewoodParadox)。
11、概述：运动是不可能的。你要到达终点，必须先到达全程的1/2处；要到达1/2处，必须先到1/4处……每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。
12、再比如最近很火的电视剧《以人民的名义》，我看过一些评论，有正面评价此剧的效果的，也有批判这种正面评价的，之后又会出现批判这种批判的评论，这不也是人类思维不断跳出系统的一种表现么？
13、下面我主要考察Donagan于1963年发表的论文《一般与形而上学实在论》(UniversalsAndMetaphysicalRealism)，我的讨论基本依循Donagan的思路，选择这篇文章来切入实在论的讨论的原因有三：首先，最重要的当然是因为易读，实在论的当代讨论往往比较技术化，这篇文章是相对易读的；其次，这篇文章清楚地重构了罗素在第一次世界大战前后给出的实在论论证，并兼顾了一些历史的讨论，整体脉络比较清晰；最后，Donagan考虑了Quine、Goodman和Pears对罗素的攻击，并就一些比较重要的论点给出了回应，捍卫了罗素的论证。总体看来，是了解当代实在论的一篇比较精彩的导读。
14、“无限不是指边界外就没有东西，而是指边界外永远有另一个边界存在。”
15、古希腊第一位伟大的数学家泰勒斯，曾利用太阳影子成功地计算出了金字塔的高度，实际上利用的就是相似三角形的性质。看吧，利用数学简单的思维，就能把本不可能完成的计算，就这样轻松解决了。在泰勒斯之后，以毕达哥拉斯为首的一批学者，对数学做出了极为重要的贡献。发现“勾股定理”，是他们最出色的成就之因此直到现在，西方人仍然把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”。正是这个定理，导致了无理数的发现。勾股定理，我相信很多人都很熟悉，可是又有多少人知道其中的具体的得来过程呢，从这条定理的证明，到后来导致了无理数的发现，我也相信未来，也一定有不少的理论在这个基础上，不断地被发现，被证明。在毕达哥拉斯之后，就是伟大的古希腊哲学家亚里士多德，他是人类科学发展史上最博学的人物之正是他所创立的逻辑学，对古希腊数学的发展产生了深远的影响。到了欧几里德时代，几何学已经成为一门相当完整的学科了。欧几里德的名著《几何原本》，是世界数学史上最伟大的著作之一。时至今日，我们在初中阶段学习的平面几何，大部分知识依然来源于古老的《几何原本》。在此之前，我只知道，亚里士多德在哲学方面为世界做出了很大的贡献，可是也不可否认，在几何方面他也对数学界做出的贡献不可磨灭。
16、希尔伯特认为，即使有无数多个人，仍然能够住下。既然旅馆有无数多个房间，那就让每一个现在住在旅馆的1号房间的人挪到2号，住在2号房间的人挪到4号，这样住在n号房间的客人住到2n号，以此类推，最终就可以塞下新来的无数多个人了。
17、一个微小的输入产生很大的输出，这样的例子还有一个，就是多米诺骨牌。每一张多米诺骨牌倒下的时候，动能都会转移到下一张，因此，动能会越来越大，速度会越来越快。一个小的骨牌能推倒比它大的骨牌，依次传递，一个初始的微小的推力最后能产生巨大无比的力量。
18、通过这样的逻辑推理与概念分析，居然可以证明或者否证一个经验问题。
19、如果你乘坐时光机回到你祖父祖母相遇之前并杀死你的祖父会发生什么？
20、基于同一性的古希腊著名悖论，引发了赫拉克利特、苏格拉斯、柏拉图等的各种讨论。近代启蒙运动中，英国的两位大哲学家托马斯·霍布斯(ThomasHobbes)、约翰·洛克(JohnLocke)也曾尝试解答这个问题。答案始终是是非非，难以一锤定音。
21、这就是著名的“理发师悖论”，在一个村子里有一位理发师，这位理发师声称：“给而且只给那些不给自己理发的人理发”。现在问理发师是否要给自己理发。如果理发师不给自己理发，那么根据定义，他要给自己理发；如果理发师给自己理发，那么根据定义，他不能给自己理发。
22、概述：疯子才能获准免于飞行，但必须由本人提出申请；凡能意识到飞行有危险而提出免飞申请的，属头脑清醒者，应继续执行飞行任务。即“如果你能证明自己发疯，那就说明你没疯”，诸如此类。
23、在这个寒假里，我接触到了《数学史》这本书。这本书介绍了数学从有记载的源头向最初的算术、几何、统计学、运筹学等领域不断深化发展的历史进程，以及如今数学的发展。
24、我是千千万万青年人中的一员，可当我看到那么多和我一样年纪的年轻人在追寻幸福的道路上愈行愈错时，想要呼唤却又无力回天。“那时我们有梦，关于文学，关于爱情，关于穿越世界的旅行。如今我们深夜饮酒，杯子碰到一起，都是梦破碎的声音。”北岛的小诗或许正是当下很多青年人的写照。曾经的豪言壮语在岁月中沉沉湮没，留下的只有因碌碌无为而破碎的梦想，当初说好的圆满，说好的幸福呢？《幸福之路》确是这样一本有魔力的书，读罢，它使我唤起心中深埋已久的热忱，让我似乎听到一种迸发着激情的召唤。至此，真心希望那些在追梦旅途上迷失了方向，消沉了热血之志的青年们同样能够从这本书中重获奋起奔跑的力量！
25、在神学方面，例如在像神学家邓斯·司各脱(DunsScotus)的著作中，上帝的无限能量是运用在无约束上，而不是运用在无限量上。在哲学方面，无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面，无穷又作为无限，很多文章都探讨过无限、绝对、上帝和芝诺悖论等的问题。
26、现在我们来想想和人类思维系统更接近的动物，一只狗的思维系统是否复杂到足以存在自指的可能？这个答案无法直接给出，但是我们可以合理推测：一个细胞的自复制系统都复杂到足以存在自指的可能，那么由无数细胞组成的动物也应当具有自指的能力。
27、反证法是借助矛盾的论证方法，首先假设前提成立，然后进行逻辑推理与概念分析，进而得到逻辑矛盾，由此证明前提不成立。
28、我知道了，第一次数学危机——你知道根号2吗？你知道平时的一块钱两块糖之中是怎么迸溅出无理数的火花的吗？正是他——希帕苏斯，是他首先发现了无理数，是他开始质疑藏在有理数的背后的神奇数字。从那时起无理数成为数字大家庭中的一员，推理和证明战胜了直觉和经验，一片广阔的天地出现在眼前。但是，希帕苏斯却被无情地抛进了大海。不过，历史却绝对不会忘记他，纵然海浪早已淹没了他的身躯，我们今天还保留着他的名字——希帕苏斯！
29、其实这个语言悖论也体现在形式语言系统中，就是那个著名的“罗素悖论”。简单说来，我们可以构造一个集合S，这个集合内的所有元素X都不属于自身，用形式符号表示出来就是S=﹛x|x∉x﹜。有的读者可能就会问这有啥意义，现实世界并不存在“不是自己的东西”，我们先别管这个，因为按照符号形成的规则，这样构造出的集合是没有问题的。
30、说来有趣，生平第一次耳闻本书的执笔者伯特兰·罗素时是因为著名的罗素悖论，一直以来便将其奉为细谨严肃的数学家，却不曾想竟能写出如此朴素至深、直入肺腑的不刊之文。翻过靛蓝色印有淡青碎花的封面，我一眼便捕捉到扉页上那位叼着烟斗静静沉思的老人。没错，这确是我认识的罗素，倘若无人告诉你，你眼前的这位正是大名鼎鼎的罗素，你肯定会像从一位普通至极的老者身边走过那样把他忽略了。的确，从晚年罗素松弛的皮肤上和些许蓬乱的白发间，你根本无从知晓老人内心不停喷薄着的火热以及他那时刻在高速运转着的思维。罗素的童年在漫长的孤独中煎熬地度过，他曾亲笔写道：“少年时，我憎恨人生，总是徘徊在自杀的边缘。我觉得前面漫长的无聊人生简直无法忍受。”所以，罗素的作品很大程度上是一种现身说法，因为经历过才更有话语权。他崇尚朴素，毕生都在思考如何将艰涩的哲学深义通俗地向世人传达。我想，当我真切地将罗素的形象刻于心扉，将其思维融入我的脑海中时，我才更加理解他所铺就的这条理性的“幸福之路”。
31、除此而外, 还应该看到: 希尔伯特想把全部数学都纳入于公理化方法形式化的宏伟规划中去的愿望, 已经由奥地利数学家哥德尔(G¨odel) 在1931年发表的“不完全性定理”所表明: 那是永远不能彻底实现的。
32、这么几个人里就有两个人同天生日，怎么可能？
33、希尔伯特于1899 年出版了《几何学基础》一书,该书被誉为半角式化公理学的代表作, 同时他也是举世公认的“现代数学中公理化方法的奠基人”。他在该书中提出了一个比较完美的初等几何公理系统, 其中包含6个基本概念“点”、“直线”、“平面”、“属于”、“介于”、“合同于” (前3个基本概念一般称之为基本元素, 后3个基本概念一般称之为基本关系), 以及描绘这6个基本概念之间相互关系的20条基本命题。实际上,这20条基本命题即是这6个基本概念的隐定义。对于基本命题,也可称之为公理条文，
34、这都是数学惹的祸，诡异的统计学能证明你的好基友拥有更多朋友，身材更棒，学习更好，工资更高……而你就是个杯具。
35、 脑洞：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，扑通n声跳下水……你想起数列是个什么鬼了吗？
36、20世纪20年代，在集合论不断发展的基础上，大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的"完备性";希尔伯特还要求公理体系保持"独立性"和"无矛盾性"。希尔伯特的计划也确实有一定的进展，几乎全世界的数学家都乐观地看着数学大厦即将竣工。
37、我们用大白话来翻译一下这段文字：罗素提出了一种集合，下面就称为“罗素集合”吧，加入这个集合的条件有以下两点：首先你要是一个“集合”；你不能是“自身”的成员。
38、在神学方面，例如在像神学家邓斯·司各脱(DunsScotus)的著作中，上帝的无限能量是运用在无约束上，而不是运用在无限量上。在哲学方面，无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面，无穷又作为无限，很多文章都探讨过无限、绝对、上帝和芝诺悖论等的问题。
39、这个悖论有趣的地方在于，即使囚徒用无懈可击的逻辑推理出了“出乎意料的行刑日”并不存在，但是如果在周二或者别的什么日子被押向刑场，他依然会感到意外，因为他在那天早上依然不知道今天自己会被处死。事实上，当囚徒用严密的逻辑推理出自己不会被绞死时，也就意味着无论哪一天被绞死，他都是意外的。关于这个悖论，哲学家迈克尔·斯克里文曾写道:“逻辑的力量遭到事实的否决，我觉得这正是这个悖论的迷人之处。可怜的逻辑学家念着过去屡试不爽的咒语，但是事实这个怪兽听不懂咒语，执意前行。”
40、那么究竟我们是如何到达目的地的呢？二分法悖论只是空谷传音般放大了问题。若想妥善解决这个问题，还得靠物质、时间和空间是否无限可分等等这些20世纪的衍生理论。
41、脑洞：装备此逻辑，与自称为上帝的自恋狂魔们大战几百回合不掉血。
42、ISBN： 978-7-300-28241-1
43、伽利略悖论让人见识了无限集合的惊人特性。在他最后的科学著作《两种新科学》里，伽利略写出了这个关于正整数的矛盾陈述。
44、(Anantinomy,however,packsasurprisethatcanbeaccommodatedbynothinglessthanarepudiationofpartofourconceptualheritage.)
45、无论证真式还是证假式悖论，都并非真正的悖论，倒更类似我们人类的思维体操：让我们去审视我们的常识。这类悖论，引发我们的好奇心、探索心，最终让我们个人的知识得到增长或补漏。
46、女人对蛇说：“园中树上的果子我们可以吃，唯有园当中那棵树上的果子，神曾说‘你们不可吃，也不可摸，免得你们死’”
47、真正的大师级人物能够将理性与感性完美融合。他们有着非凡的想象力，相信直觉的力量，他们有着严谨的逻辑，却善于控制感情，运用感情，来影响他人，改变世界。
48、概述：100克土豆含有99%的水，如果它被榨出了2%，还剩98%的水分，它将只重50克。即100克的土豆含有1克干物质(drymaterial)，当还剩98%的水分时，1克将对应2%的含量，因此含98%水分的土豆重50克。
49、在我看来，这种主动的自指才是人类思维真正的特点！
50、康德将那些引起我们争论不休的问题，那些我们本身含混不清的概念都放入到「物自体」当中，认为那是我们永远无法知道的事情，使我们认知的边界。不过，不久之后，费希特就对康德进行了批判，认为既然康德宣称「物自体」是我们不可能认识的，可说出这句话之后，不久意味着已经对「物自体」这一事物有所认识了吗？
51、很显然，如果我将自己的观点“没有什么是真理”贯彻到底，那么这句话就不是真理，这个观点也就被解构了(摧毁了)，这也是彻底的怀疑论者的悲剧！！！
52、这些发问引出了罗素先生对“不幸福的原因”的思考。他写道：“这些种种的不快乐，部分源自社会制度，部分源自个人心理。”放眼当下，整个社会都在追求一种普遍认同的“高效”。殊不知，这种高效实质上是以将社会群体中的大部分人笼罩于高压之下为代价的。毋庸置疑，“个人心理”往往是会受社会大环境影响的，迫于生活工作的重重压力，人们将“竞争”看做是人生常态，将自己系在社会发展的车轮辐条上，高速旋转着。人们害怕失败，害怕别人看到自己一丝一毫的缺陷，表面上在追求一种自己所认为的完美人生，但事实上这种所谓的“完美”仅仅是拿给别人看的摆设，代价却是再难把握生活本应有的平实和幸福，进而让生活藏入无谓的虚空。对于那些深陷竞争泥潭的所谓“高效者”，罗素无奈写道：“过着这种生活的人就像是在进行百米赛，但他们竞赛的终点是坟墓。他可能根本就没有对他来说很重要的朋友，关于春季和收获的秋季，他知道的只是它们会影响市场行情。对他来说，看书是在浪费时间，听音乐是附庸风雅。”人们过于把在竞争中获得的胜利看作是幸福的源泉了。如果一个人将简单的放松都当做一种奢侈品来看待的话，那么他和机器又有何异呢？更不要再提由心而发的幸福感了。所以，罗素一直在呼吁，人们必须承认“理想的平衡生活要有健全而恬静的内容”，必须明白一个人只有拥有健全的人格，并且能够平复浮躁的心灵才有获得幸福的能力。
53、法则2：飞轮效应(FlywheelEffect)
54、一沙一世界，一水一天堂，简单的生活，也能有汩汩的幸福。老人不是医者，却在救赎，救赎人们对生活的淡漠，救赎人们留不住幸福的心殇。书已阅尽，合书一瞬，似闻老人和蔼地贴于耳畔轻轻地说：“爱你的生活啊，看吧，幸福就在这里。”幸福清泉，掬水流香，简单地爱，快乐地活，如此，安好。
55、用抽屉原理来计算，只要人群样本达到3存在两人同天生日的可能性就能达到100%(一年虽然只有365天，但是有366个生日，包括2月29日)。然而，如果只是达到99%的概率，只需要57个人；达到50%只需要23个人。这种结论的前提是一年中每天生日的概率相等，可怜的2月29日除外。
56、从这十点出发，欧几里得通过几何原本勾画出了整个欧氏几何，也是我们中学学过的几何内容。我们学的时候，看不出任何问题。
57、◆证假式悖论：看起来为真，实际为假的悖论。往往是悖论所隐藏的知识，与人类直觉悖逆，所以让我们误以为真。
58、哥德尔的证明建立在一个前提下：该系统足够复杂，复杂到可以用符号来表示自指行为。换言之，简单系统是没有自指能力的！人类思维显然足够复杂，自指就不在话下了，但是问题是：除了人类思维系统，其他系统是否具有自指的能力？答案也是肯定的，就比如哥德尔证明的一阶语言系统就可以表示自指。
59、蒯因认为，这个矛盾表明村里没有这样一位理发师。然而奇怪的是，有没有这样一位理发师，显然是一个经验问题。
60、贝佐斯认为，企业的各个部门就像是飞轮的各个齿轮，这些齿轮相互咬合在一起，环环相扣，共同发力，最后让飞轮快速地转动起来。
61、1687年，牛顿发表《自然哲学的数学原理》，对万有引力和三大运动定律进行阐述，一举奠定了他在物理学历史上无可撼动的地位。今天我们在中学学习的物理，无论是力学、光学还是热学，都是牛顿物理学的范畴。人类在日常生活中所见到的现象乃至于发射卫星、登月，牛顿的物理学定律已经足够了。毫不夸张地说，没有牛顿，就没有物理学。牛顿之后，物理学得到迅猛发展，到了1900年，热力学大师开尔文勋爵宣布说：
62、所有对理发师悖论的解答都将目光限定在可能的集合类型上。罗素自己提出了一套“类型理论”，这套理论将语句分为不同级别：最低级别是关于个体的语句，第二层级别是关于个体集合的语句，以此类推。这种理论避免了包含所有集合但不包含自身的全集，因为两种语句属于不同类型——即不同级别。
63、高中三年，我们要逐步认清这一人生悖论，并设法面对。很可能，这一问题要困扰大家一生。
64、「证假式悖论虽让人意外，但只要我们能找到悖论潜藏的谬误，就不过虚惊一场。」
65、再次，对罗素实在论的另一种怀疑是，这种实在论是否是文化独断主义的，它是否建构在当代欧洲语言的特殊语境之下，而并不具备普适性？在英语与汉语中，我们习以为常的一般与个别的对立是否只是一种语言上的虚构。我们不难设想某些可能的语言(也许可以找到现实的例子)，例如，“那只蛤蟆是绿色的”，在某种可能语言里被表述为，“蛤蟆与绿色在那里”或者“那绿色是只蛤蟆”，在前一种表述中，我们所谓的一般和个别被等价地在语言中呈现；在后一种表述中，我们的一般与个别其实被倒置了。
66、芝诺又一著名悖论，他认为时间的单位是瞬间。事实上，运动不会发生在任何特定时刻，并不意味着运动不会发生。战国时期的诡辩学代表人物惠施也曾说：“飞鸟之影，未尝动也。”
67、正如蒯因1961年在《悖论的方式》一文中所指出：
68、本书于1958年出版，作者J.F.斯科特。书中主要阐述西方数学的发展历史，但也专门用一章讲述印度和中国的数学发展。沿着时间轴，数学的发展经历了从初等到高等的过程。
69、比如，在小丑乔治的故事里，为了打破悖论，我们必须要将没资格参加自己表演后的宴会的小丑和没资格参加“没资格参加自己表演后的宴会的小丑”的宴会的小丑分开看待，这两个集合是存在“层级鸿沟”的。我们不能像故事中小丑们的逻辑那样：如果乔治属于第一个群体就自动推出他也属于第二个群体。如果罗素也在场，告诉他们这两个群体根本不是一个层级的，不能放在一块考虑，小丑乔治的处境就不会那么尴尬了。
70、在黑暗的中世纪，数学发展处于停滞状态，而斐波那契的出现把数学带上复兴。
71、我们的文明是有声的，广播电视和无线电信号都是人为的。如果确实存在与地球相像的文明，我们应该有能力找到证据。
72、Donagan考察的最后一种攻击，是来自Pears的。他认为，实在论是无意义的循环论证。对于这种批评，我并不打算多谈，因为Pears自己好像有点逻辑不清，按照这种理论Quine整个本体论承诺的理论，似乎都成为无意义的扯淡。这种批判从范畴框架的角度看，相当于否定了整个形而上学的意义。这当然又引出了一个复杂的问题，但绝不是所谓“circularanduninformative”可以一言蔽之的。