1、一旦这些实际问题得到解决，对于我们现实生产生活是十分有益的。数字——自然数产生之后，我们想描述现实的情况变得有可能了。比如说，在我们这样一个小区域内有多少棵杨树呢，我们只要查一下，有27棵杨树。在一个小区域内有27棵杨树，我只要写这样一个数字就行了。注意，那个时候中国可没有这样一个数字，这是阿拉伯人发明的，阿伯人用这样一个方式来描述，我们中国人不用这个方式，中国人用一横两横来描述。阿拉伯人用这个“5……”来描述，罗马人用“Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ……”来描述，而中国人用什么来描述呢？中国人用“五……”。
2、印度的学者又引出了作为零的符号。可以这么说，这些符号和表示方法是今天阿拉伯数字的老祖先了。
3、 在甲骨文中，最大的数是三万，写作．人们能表示三万以内的任何自然数(也许更多)，例如156写作．甲骨文中的数字，大部分联系着实物，如五十犬，三十羊．也有一些甲骨上的数字是独立出现的，人们曾在一片龟甲上发现了10以内的全部自然数，没有和实物连在一起，说明商代已经有了抽象的自然数概念．
4、产生了这些东西之后就希望有一种描述，于是数学从这个时候开始产生，但是非常的粗浅。比如说，一个原始社会的一个群落或者一个山洞，这个山洞里面我们到底有多少个人、我们打死了几只猴子、几只野猪等等这些东西都需要计量。再比如，我们还需要研究位置关系：我们所居住的山洞跟某一个河流构成了怎样的位置关系，跟某一个岔路口构成怎样的位置关系，当时这些问题都需要前人来解决。同时，我们还要解决场所的大小问题。比如说，我们这个山洞它究竟有多大，它究竟能够容纳多少人等等，这都是问题。这些问题发生了，于是人类开始产生最基本的东西。比如说，最开始需要计量，于是产生了4等自然数。
5、先说数字的起源。这得包括“基数”和“序数”两个方面，基数就是单纯的1,2,3,序数则有顺序在里面。对基数来说，想必是来源于对周围环境中离散数量的认识，天天都见到如两只鸟，两只鞋，两只手，慢慢滴，人们从这些实例抽象出了“2”这个概念，其他数字也是如此。一开始人们需要表达“数量”的信息，一双手就可以表示十以内的数量，加上两只脚，20以内的数都没问题。但是20以上的就没有办法了，这时候用石头堆或者麦秆数来表示最好不过。可是慢慢地就发现，石头麦秆这些都不能保存信息，他们的寿命太短了，于是人们又开始利用记号，这样保存的信息就比较长久了。我估计一开始的方法就是有多少数量就画多少条横线，他们将这些刻痕记于动物骨或者泥板上，在捷克斯洛伐克，人们就找到了一块来自一匹幼狼身上的骨头，上面深深刻下了55道刻痕。这些刻痕被排列成两串，第一串30道，第二串25道，每一串刻痕之内按照5个一组的方式排列。我推测，因为5是一双手手指头的数目，5个成一串刚好方便以后重复使用。
6、但是在19世纪初，数学家给出了复数的几何解释。也就是用一个十字坐标，把一个称之曰虚轴，一个称之曰实轴，构成一个平面，实数和虚数走到一起构成了一个复数，写成a+bi的形式，而这个平面就是复平面(如下图)。而这个和向量即既有大小又有方向的量就可以对应起来了。在此基础上，将a、b换成变量x，y，并由此建立了复变函数。
7、数学的定义都是经过严格推敲的，是要反映它的本质，给人以形象的理解。举个稍复杂点的概念——支集，具体的定义为：一个函数f定义在集合X上，其中X的一个子集，满足f恰好在这个子集上非0，那么，这个集合称为支集。这就好像X轴是地面，函数像人一样从地面上支撑起来。(数学的由来)。
8、柏拉图关心数学的各个方面，在他那充满奇妙幻想的神话故事《费德洛斯篇》中，他说：故事发生在古埃及的洛克拉丁(区域)，在那里住着一位老神仙，他的名字叫赛斯(Ｔｈｅｕｔｈ)，对于赛斯来说，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数，计算、几何学和天文学，还有棋类游戏等。柏拉图常常充满了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全概念化的语言谈论数学了，即谈论统一的、有着自己发展目的的数学。在他的《形而上学》(Ｍｅｔａ－ｐｈｙｓｉｃｓ)第１卷第１章中，亚里士多德说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。亚里士多德所说的是否是事实还值得怀疑，但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力。
9、就在腓尼基文化逐渐衰落之际，地中海沿岸的西西里、克里特、塞浦路斯和古希腊开始崛起。大约在公元前400年，古希腊地理学家画的航海图上已经标示出了地中海的海岸线。腓尼基为古希腊的强盛输送了营养，比如说，古希腊文字来源于腓尼基，航海知识就更不用说了。
10、因此，人们开始越来越相信复数的产生在数学中是有着非常重要的意义的。
11、大约在公元前3000多年，印度河流域居民的数字就比较先进，而且采用了十进位的计算方法。到公元前三世纪，印度出现了整套的数字，其中最有代表性的是婆罗门式，是当时比较常用的。
12、在亚里士多德的书中，提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论：１．存在为知识服务的知识，纯数学就是一个最佳的例子：２．知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的。亚里士多德这种“天真”的观点也许会遭到反对；但却驳不倒它，因为没有更令人信服的观点。就整体来说，古希腊人企图创造两种“科学”的方法论，一种是实体论，而另一种是他们的数学。亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者之间的，而亚里士多德自己认为，在一般的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响，实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论，但不知什么原因，数学的名字本身并不如“存在”和“理性”那样响亮和受到肯定。然而，数学名称的产生和出现，却反映了古希腊人某些富于创造的特性。下面我们将说明数学这一名词的来源。“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种“已学会或被理解的东西”或“已获得的知识”，甚至意味着“可获的东西”， “可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”，数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。甚至伟大的辞典编辑人利特雷(Ｅ．Ｌｉｔｔｒｅ 也是当时杰出的古典学者)，在他编辑的法语字典(１８７７年)中也收入了“数学”一词。牛津英语字典没有参照梵文。公元１０世纪的拜占庭希腊字典“Ｓｕｉｄａｓ”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条，但没有直接列出“数学”一词。 “数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注意。首先，亚里士多德提出， “数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯(公元前６４０－－５４６年)在“纯”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧根尼拉尔修(Ｄｉｏｇｅｎｅｓ Ｌａｅｒｔｉｕｓ)简短提到外，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯(Ｐｒｏｃｌｕｓ)对欧几里得的评注：但这一可信性不是来源于亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治、军事战术方面的“爱好者”，甚至还能预报日蚀。
13、数学的源头在数、量和形之中。现代对动物认知的研究表明，这并不是人类特有的概念。这些概念是狩猎者-采集者社会中日常生活的一部分。在一些语言的词汇中，保留了“一”、“二”、“很多”的区别，但并没有大于二的数，这个事实支持了“数”的概念是随时间而演化的说法。
14、在爱的教育中学习数学，在学习数学中感受有爱的数学。
15、 据战国时成书的《庄子》记载，惠施曾提出“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”的观点．其中“大一”、“小一”可理解为无穷大，无穷小．这段话的意思是：大到没有外部，称为无穷大；小到没有内部，称为无穷小．书中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的著名命题，可以看作是对“小一”的发挥．一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下那一半的一半，如此不断地取下去，
16、很多数学基本概念的定义确定了数学未来发展的形式。
17、传到欧洲后，欧洲人非常喜爱这套方便适用的记数符号，尽管后来人们知道了事情的真相，但由于习惯了，就一直没有改正过来。
18、她虽然只活了40岁，但应该说是一位幸运儿，比大多数人在“数学丛林”里都走得深，最后还摘取了数学上的桂冠。
19、许多如数、函数、几何等的数学对象反应出了定义在其中连续运算或关系的内部结构．数学就研究这些结构的性质，例如：数论研究整数在算数运算下如何表示．此外，不同结构却有着相似的性质的事情时常发生，这使得通过进一步的抽象，然后通过对一类结构用公理描述他们的状态变得可能，需要研究的就是在所有的结构里找出满足这些公理的结构。
20、 ——资深科技史学者、清华大学教授戴吾三
21、长期以来，一种观点认为：我们天生就有一种对“数”的意识，就像我们天生就能意识到色彩一样。1997年，法国心理学家德阿纳提出一个假说，认为进化赋予人类和其他动物一种“数觉”，即立即觉察一堆物体数量的本能。譬如说，三颗红色的珠子会产生数“3”的感觉，正如它们能产生“红”的感觉。
22、另外一个不容忽视的起源是——人类的好奇。也许看见太阳月亮那么圆，就想研究圆这种图形等，这种来自几何图形上所独有的美感，刺激了早期的人类，学夫子一直相信，好奇心是人类前进的主要动力。
23、 《周髀算经》中的“七衡”便是一等差数列．七衡是七个等距离的
24、因为它是从大自然中来，自然产生的。有了数量需求，就想着表示。从最开始，不同的人有不同的发展，因为他是自然发生的。我们最开始就产生自然数，利用这个东西来计量。我们想想人类最开始有数学需求的时候，那个时候又没有这些数字，于是那个时候只能弄一个小绳。比如说，我打死一只狍子，我在这个小绳上系个扣，我打死第二只再系第二个扣……等回来之后酋长问我：你今天战果如何啊？我把那个小绳往外一掏，给你看这么多个扣。问我战果怎么样？你看有多少个小疙瘩，那么战果就有多少。所以那个时候人类生活是很不方便的，只能通过那些小疙瘩来计数。而后来，发明了数，虽然这事对我们今天来讲是很简单一件事，在那个时候来讲它极不简单。
25、正是我们这种与世界打交道的方式，决定了我们的感官存在这样那样不尽人意的偏差。
26、 《易经》是中国最古老的书籍之书中通过阴阳卦爻预言吉凶．“--”是阳爻，“--”是阴爻，合称“两仪”．每次取两个，按不同顺序排列，生成“四象”；每次取三个，生成八卦(图5)；每次取六个，则生成六十四卦．四象、人卦与六十四卦的排列，相当于组合数学中的有重排列：从n种元素中每次取r个，共有nr种排列法．例如，在两种卦爻中每次取3个，共有23＝8种排列，这就是八卦．
27、公元500年前后，随着经济、文化以及佛教的兴起和发展，印度次大陆西北部的旁遮普地区的数学一直处于领先地位，起源于印度。
28、公元7世纪，团结在伊斯兰教下的阿拉伯人征服了周围的民族，建立了东起印度、西经非洲到西班牙的阿拉伯帝国。后来，这个伊斯兰帝国分裂成东、西两个国家。由于这两个国家的各代君主都奖励文化和艺术，所以两国的首都非常繁荣，特别繁荣的是东都——巴格达。
29、 百、千、万的倍数多用合文，例如10的倍数
30、如果我们接受后一种观点，那么，我们后来能产生精确的数量感，发明出数来精确地表示量，只能说是文明的产物了。
31、我国盛产竹子，是世界上最善于利用竹子的国家。用竹子做计算工具，使我国古代数学带有许多和西方不同的特色。因此，“祘”由两个“示”字合成。
32、基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展。但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态。
33、后来，随着在世界各地的普遍传播，大家都都认同了“阿拉伯数字”这个说法，使世界上很多地方的人都误认为是阿拉伯人发明的数字，实际上是阿拉伯人最早开始广泛使用数字。
34、最早的记数符号可能产生于古埃及和美索不达米亚。古埃及人把它们写在一种纸草上，苏美尔人把它们写在泥板上。他们都用单笔画表示个位数，用不同的记号表示十位数和更高位数。后来的古罗马人在一定程度上继承了他们的成果，创造出了罗马数字。汉字数字也是古代中国人智力进化的成果，在甲骨文中，就能找到蛛丝马迹。
35、代数理论的另外一个例子是线性代数，它对其元素具有数量和方向性的向量空间做出了一般性的研究．这些现象表明了原来被认为不相关的几何和代数实际上具有强力的相关性．组合数学研究列举满足给定结构的数对象的方法．
36、代数学可以说是最为人们广泛接受的“数学”。可以说每一个人从小时候开始学数数起，最先接触到的数学就是代数学。而数学作为一个研究“数”的学科，代数学也是数学最重要的组成部分之一。几何学则是最早开始被人们研究的数学分支。
37、在中国古代，数学叫作算术，又称算学，最后才改为数学．中国古代的算术是六艺之一(六艺中称为“数”)。
38、 (图中第一行为纵式，第二行为横式)算筹的摆法是纵横相间，从右到左：个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……，遇零则空位．例如2561摆成，308摆成．筹算加减法与今珠算类似，从左到右逐位相加或相减即可．筹算乘除法的步骤稍微复杂一些．二数相乘(如48×36)时，先用筹摆一数于上，一数于下，并使下数的末位和上数首位对齐(图6(1))，按从左到右的顺序用上数首位乘下数各位，把乘得的积摆在上下二数中间(图6(2))，然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位(图6(3))，再以上数第二位乘下数各位，加入中间的乘积，并去掉上数第二位(图6(4))．直到上数各位用完，中间的数便是结果．筹算除法也分三层，上层是商；中层是被除数，叫实；下层是除数，叫法．
39、更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加人使用的奇普。历史上曾有过许多各异的记数系统。
40、数字分好几种，阿拉伯数字是最普遍的一种。阿拉伯数字并不是阿拉伯人发明的而是印度人发明的，实际应该列为印度语言，只是先传播到阿拉伯，然后传向世界的，所以称之为“阿拉伯数字”。数字是一种用来表示数的书写符号。不同的记数系统可以使用相同的数字。
41、数学和物理之间这种普遍存在的联系，使我们想起几个世纪前伽利略说过的一句话“数学是大自然的语言”。对今天从事自然科学研究的人来说，数学几乎是一门必备的工具。甚至长期抵制数学的生物学，也在慢慢地屈服：人们已经见证了数学在基因组学或神经科学中的广泛应用。比如，DNA双螺旋结构的发现就与一个叫“傅里叶分析”的数学工具分不开。神经生物学则越来越依赖拓扑学、图论等数学学科。
42、有解而引入了虚数i。但在历史中，复数是在一些数学家求解三次方程的过程中，发现结果中会出现对负数的开方，于是这个时候提出了虚数。可以说，复数正是在代数方程的求解中产生的。在古希腊时期，丢番图的《算数》中就已经记载了一元二次方程在时的情形，但当时丢番图没有考虑这种方程是否有解。直到16世纪，四次方程的求解中才出现了复数。意大利学者卡尔丹在塔塔利亚的基础上推出了一般三次方程的解法。但在求解的过程中，出现了不可约的情形，这时负数会被开方。然而这是当时的欧洲人无法接受的，因为负数的出现本身就难以接受了(欧洲人为什么难以接受负数，这也是一个与社会学文化学相关的有意思的问题)，更别说给负数开方。之后，又有意大利数学家邦贝利引入了复数，但他本人觉得复数是神秘而无用的东西。法国数学家笛卡尔也将困惑数学家的“虚无缥缈”的东西命名为“虚数”。
43、以心理学上反映心理量和物理量之间关系的韦伯-费希纳定律为例。这条定律说：我们辨别两个感觉差别的能力，随感觉强度的增加而减弱。比如用手提重物，你很容易区分1千克和2千克，但要辨别21千克和22千克，就不那么容易了。对于亮度、音量等的辨别能力也同样如此。
44、 《周髀算经》中的内插法是最简单的等间距一次内插法．已经测得二十四节气中冬至、夏至的日影①长，推算其他节气的日影长．假定每两个节气的时间间隔相等，并以f(a)，f(b)表示夏至及冬至的日影长，则有
45、腓尼基人是最早使用字母文字的民族，他们用数量不多的表示声音的简单符号，代替了大量的表示语言或意思的象形符号，这样的文字系统既简约又方便。公元前600年，古希腊人借用腓尼基字母完善了自己的语言文字。现代欧洲各国的拼音文字都有同一个源头，就是腓尼基字母文字。
46、菲力斯顿的这个看法可追溯到1970年代，当时控制论提出一项原则：为了提供有效的控制，一个机器人必须先对自己与环境的作用，建立一个数学模型，才能据此行动。此后的人工智能研究，差不多都遵循了这条原则。今天，人类能在人工智能领域取得这么大的成就，也要归功于这条原则。
47、——著名科学史家、中国科学院自然科学史研究所
48、但越来越多的证据表明，动物在自然状态下也能表现出接近“数觉”的能力。20世纪90年代早期，有观察证明，狮子能区分一头狮子和三头狮子的吼声。在2017年2月的一次会议上，研究人员还报告说，一些青蛙在择偶过程中，当听到与之竞争的青蛙的叫声时，会在叫声数量上与竞争者一争高低。
49、数学不仅是一种计算的技巧，也是一种工具，还是一种思维方法的应用和思维过程的展现。那些沉醉于数学的人为人类创造了一个纯粹的思维世界，无论是杰出的天才，还是默默无闻的耕耘者，都是一个时代的楷模。
50、 (1)“平，同高也”---两线间高相等，叫平．这实际是平行线的定义．
51、西方人由于首先接触到阿拉伯人使用过这些数据，便误以为是他们发明的，所以便将这些数字称为阿拉伯数字，造成了这一历史的误会。
52、 德国数学家莱布尼茨(G．W．Leibniz，1646---1716)发明二进制后不久，见到了传教士白晋(J．Bouvet，1656---1730)从中国寄去的八卦．莱布尼茨认为，八卦中蕴含着二进制思想，因此惊叹不已．实际上，若把“--”和“--”两种卦爻用1和0代替，八卦就可表示为